martes, 12 de marzo de 2013

 
 
 
 

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MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME



De acuerdo a la 1ª Ley de Newton toda partícula permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme cuando no hay una fuerza neta que actúe sobre el cuerpo.

Esta es una situación ideal, ya que siempre existen fuerzas que tienden a alterar el movimiento de las partículas. El movimiento es inherente que va relacioneado y podemos decir que forma parte de la materia misma.

Ya que en realidad no podemos afirmar que algún objeto se encuentre en reposo total.


El MRU se caracteriza por:

a)Movimiento que se realiza en una sóla direccion en el eje horizontal.

b)Velocidad constante; implica magnitud y dirección inalterables

c)Las magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta aceleración (aceleración=0).


Relación Matemática del MRU:

El concepto de velocidad es el cambio de posición (desplazamiento) con respecto al tiempo.


MOVIMIENTO RECTILINEO ACELERADO




El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), es aquel en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante.
Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre vertical, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad.



FORMULAS

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
(MRU)
 
V=d/t D=v*t T=d/t

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME ACELERADO

(MRUA)
 
Vm=d/t D=vm*t A=vf-vi/t Vf=Vi+a*t Vm=Vi+Vf/2 Vf=a*t

CAIDA LIBRE

 
En física se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la acción exclusiva de un

campo grafitorio. Esta definicíon formal excluye a todas las caídas reales influenciadas en mayor

o menor medida por la resistencia aerodinamica del aire, asi como cualquier otra que tenga lugarmen el seno de un fluido; sin embargo es frecuente tambien referirse cologuialmente a éstas conmo caídas

libres, aunque los efectos de la viscosidad del medio no sean por lo general despreciables.


FORMULAS

V=g*t H=g(t2)

Todos los cuerpos en caida libre son acelerado hacia el centro de la tierra y su velociadad
aumenta de manera uniforme con respecto al tiempo.
En este movimiento, los cuerpo describen una trayectoria rectilinea de arriba hacia abajo con una aceleración constante (en este caso la aceleración es igual a la grabedad).

a=g=9.81m/s2

TIRO VERTICAL

Es un movimiento sujeto a la aceleración gravitaciónal, solo que ahora es la aceleración la que opone

al movimiento inicial del objeto.

El tiro vertical comprede sudida y bajadas del cuerpos u objetos.


FORMULAS

Vf=Vi*-g*t H=Vi*t-g*t2 Vf2=Vi2-2g*t

 

TIRO HORIZONTAL

 
El tiro horizontal se caracteriza por la trayectria o camino curvo que sigue un cuerpo al ser lanzado horizontalmente. Inicia con una velocidad cero y va aumentando en la misma proporcion de otro cuerpo que se dejara caer al mismo punto en el mismo instante
si la velocidad de salida es v0, tendremos que las componentes de la velocidad inicial son:
v0x = v0v0y = 0


FORMULAS

X=Distacia horizontal

Vx= Velocidad inicial ó velocidad horizontal

T= Tiempo de caida

Y=Distancia vertical

G=aceleración de gravedad

V= Velocidad del choque

Vy= velocidad vertical
X= Vx*t Y=1/2 g*t Vy=gt





TIRO PARABOLICO


Se llama así al realizado por un objeto cuya trayectoria forma una parábola.
Es representado por un vector tangencial a la parábola del tiro en el eje z, este vector puede descomponerse en dos movimientos; en el eje x será un movimiento rectilíneo uniforme, y en el eje z un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Es curioso que el tiro parabólico sea analizado en estos dos ejes, pero es así debido a que la gravedad siempre afectara (y), y también encontraremos una distancia (x) dentro de su recorrido.
En el eje x la velocidad será siempre constante, y en y su velocidad varía pero su aceleración es siempre constante.
Para los analisis de tiro parabólico utilizaremos las fórmulas de movimiento rectilíneo uniforme y movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Dentro de este tema podemos analizar tambien el tiro horizontal, ya que es un movimiento que comienza dado en el eje x que al verse afectado por la gravedad se describe como una parábola que a su vez puede analizarse como una caída libre, ovbiamente en el eje y.



FORMULAS

Vx= Componente horizontal de V
Vy= Componente vertical de Y
V= Velocidad inicial
Vx= V cos 0 Vy=V sen 0 Vy= g*t T= Vy/g= Vsen 0 T=2 V sen 0/g
H=2(Vsen 0)2/2g R= V2 sen 2(0)/g







En física, el movimiento circular uniforme describe el movimiento de un cuerpo atravesando, con rapidez constante, una trayectoria circular.
Aunque la rapidez del objeto es constante, su velocidad no lo es: La velocidad, una magnitud vectorial, tangente a la trayectoria, en cada instante cambia de dirección. Esta circunstancia implica la existencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.
Ángulo y velocidad angular
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene 2\pi\, radianes.



La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:

\omega = \frac{d\varphi}{dt}
Vector de posición

Moviment circular.jpg
Se considera un sistema de referencia en el plano xy, con vectores unitarios en la dirección de estos ejes (\text{O}; \mathbf i, \mathbf j) . La posición de la partícula en función del ángulo de giro \varphi y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano xy:

\begin{cases} x = r \cos \varphi \\ y = r \sin \varphi \end{cases}
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:

\mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j
siendo:

\mathbf{r} \; : es el vector de posición de la partícula.




r \; : es el radio de la trayectoria.

Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (ω):

\omega = \frac{d\varphi}{dt} = \frac{\varphi}{t} \qquad\Rightarrow\qquad \varphi = \omega {t}
El ángulo (φ), debe medirse en radianes:

\varphi = \frac{s}{r}
donde s es la longitud del arco de circunferencia
Según esta definición:
1 vuelta = 360° = 2 π radianes
½ vuelta = 180° = π radianes
¼ de vuelta = 90° = π /2 radianes

Velocidad tangencial
La velocidad se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:

\mathbf{v} = \frac{d\mathbf r}{dt} = -r\omega\sin (\omega t) \mathbf i + r\omega\cos (\omega t) \mathbf j
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial

\mathbf{v} = \omega \mathbf r
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar \mathbf r \cdot \mathbf v y comprobando que es nulo.

Aceleración

La aceleración se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación:

\mathbf{a} = \frac{d\mathbf v}{dt} = -r\omega^2\cos (\omega t) \mathbf i - r\omega^2\sin (\omega t) \mathbf j
de modo que

\mathbf{a} = -\omega^2 \mathbf r
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad v\, de la partícula, ya que, en virtud de la relación v=\omega r\,, resulta

a = \omega^2 r = \frac{v^2}{r}
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve con rapidez constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.


Período y frecuencia
El periodo T\, representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:

T=\frac{2\,\pi}{\omega}
La frecuencia f\, mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:

f=\frac{\omega}{2\,\pi}
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período:

f = \frac{1}{T}


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Movimiento rectilíneo


Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.



En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición


La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Cine_02.gif (1315 bytes)

Desplazamiento

Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Velocidad


La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por



Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.



Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.

Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio

Ejercicio

Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.

Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

  • 2 y 3 s.
  • 2 y 2.1 s.
  • 2 y 2.01 s.
  • 2 y 2.001 s.
  • 2 y 2.0001 s.
  • Calcula la velocidad en el instante t=2 s.

En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s)
x’ (m)
Δx=x'-x
Δt=t'-t
m/s
3
46
25
1
25
2.1
23.05
2.05
0.1
20.5
2.01
21.2005
0.2005
0.01
20.05
2.001
21.020005
0.020005
0.001
20.005
2.0001
21.00200005
0.00200005
0.0001
20.0005
...
...
...
...
...

0
20

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Calculamos la velocidad en cualquier instante t

  • La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1
  • La posición del móvil en el instante t+Dt es x'=5(t+Dt)2+1=5t2+10tDt+5Dt2+1
  • El desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt2
  • La velocidad media <v> es


La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero


La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.


En el instante t=2 s, v=20 m/s

Aceleración




En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad Dv=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Dt=t'-t.



La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Dt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.



Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresión de

  • La velocidad
  • La aceleración del móvil en función del tiempo.



Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento


Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.



El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta. Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la posición inicial x0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s. está situado en x0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.



Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad


Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.



En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva a-t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior. Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el instante t0, podemos calcular la velocidad v en el instante t.

Ejemplo:

La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del móvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante



Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son





Movimiento rectilíneo uniforme


Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando
o gráficamente, en la representación de v en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan





Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado


Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.
Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x0

Interpretación geométrica de la derivada


El siguiente applet, nos puede ayudar a entender el concepto de derivada y la interpretación geométrica de la derivada


Se elige la función a representar en el control de selección titulado Función, entre las siguientes:

 

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa la representación de la función elegida

Con el puntero del ratón se mueve el cuadrado de color azul, para seleccionar una abscisa t0.

Se elige el aumento, 10, 100, ó 1000 en el control de selección titulado Aumento

  • Cuando se elige 100 ó 1000, la representación gráfica de la función es casi un segmento rectilíneo. Se mide su pendiente con ayuda de la rejilla trazada sobre la representación gráfica
  • Se calcula la derivada de la función en el punto de abscisa t0 elegido
  • Se comprueba si coinciden la medida de la pendiente y el valor de la derivada en t0.

Ejemplo:

Elegimos la primera función y el punto t0=3.009

Elegimos ampliación 1000. La pendiente de la recta vale -1, y se muestra en la figura.


La derivada de dicha función es


para t0=3.0 la derivada tiene vale -1.0



CinemaApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Pulsar el botón titulado Nuevo, mover con el puntero del ratón el pequeño cuadrado de color azul

Integral definida

Dada la velocidad del móvil en función del tiempo, vamos a calcular el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t. En los casos en los que la velocidad es constante o varía linealmente con el tiempo, el desplazamiento se calcula fácilmente
Si v=35 m/s, el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es Δx=35·10=350 m
Si v=6·t, el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es el área del triángulo de color azul claro Δx=(60·10)/2=300 m
Si v=-8·t+60. el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es la suma de las áreas de dos triángulos:
  • el de la izquierda tiene un área de (7.5·60)/2=225
  • el de la derecha tiene un área de (-20·2.5)/2=-25.
El desplazamiento es el área total Δx=225+(-25)=200 m
En otros casos, podemos calcular el desplazamiento aproximado, siguiendo el procedimiento que se muestra en la figura
En el instante ti-1 la velocidad del móvil es vi-1, en el instante ti la velocidad del móvil es vi. La velocidad media <vi> en el intervalo de tiempo Δti=ti-ti-1 comprendido entre ti-1 y ti es
El desplazamiento del móvil durante el intervalo de tiempo Δti=ti-ti-1 comprendido entre ti-1 y ti es aproximadamente el área del rectángulo <vi>·Δti. El desplazamiento total x-x0 entre el instante inicial t0, y el instante final t=tn es, aproximadamente
donde n es el número de intervalos
Si v=-t2+14t+21 (m/s) y tomamos n=10 intervalos iguales, entre el instante t0=0 y t=10 s el desplazamiento aproximado vale
x-x0≈27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=577.5 m
Cuando el número de intervalos en los que se ha dividido un intervalo dado (t0, t) es muy grande Δti→0. En el límite, el desplazamiento se expresa como
Si v=-t2+14t+21 (m/s), el desplazamiento entre el instante t0=0 y t=10 s vale

Actividades

Se elige la función a representar en el control de selección titulado Función, entre las siguientes:
v=-t2+14t+21
v=-8t+60
v=35
v=2t2-12t-12
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se arrastra el puntero del ratón el pequeño cuadrado de color azul, y se pulsa el botón titulado Área.
Se arrastra hacia la derecha el el pequeño cuadrado de color azul, y se vuelve a pulsar el botón titulado Área y así sucesivamente, hasta un máximo de 15 veces.
Se representa y se calcula el área <vi>·Δti de cada rectángulo que se suma al área calculada previamente.
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